Définition

Matrice

On appelle matrice $n\times p$ tout tableau de nombres ayant $n$ lignes et $p$ colonnes.

On dit que la matrice est carrée si $n=p$.On parle de matrice d'ordre n

On note $A=(a_{ij})_{1\leq i \leq n \textrm{ et } 1\leq j \leq p }$ la matrice :

$A= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1j}&\ldots&a_{1p}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2j}&\ldots&a_{2p}\\ \vdots&&&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&\vdots&\vdots&a_{ij}&\ldots&a_{ip}\\ \vdots&&&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nj}&\ldots&a_{np}\\ \end{pmatrix}$

où $a_{ij}$ se situe à la ligne i et à la ligne j.

La matrice

$A= \begin{pmatrix} -2&1 \\ 0&\sqrt{2}\\ \pi&12 \end{pmatrix}$

est une matrice $3\times 2$.

Ensemble de matrices

  1. L'ensemble des matrice à coefficients réels à $n$ lignes et $p$ colonnes est noté $\mathcal{M}_{np}(\mathbb{R})$.
  2. L'ensemble des matrice carré à coefficients réels à $n$ lignes et $n$ colonnes est noté $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$.
  1. La matrice de l'exemple précédent est une matrice de $\mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})$
  2. $A= \begin{pmatrix} -2&1&2 \\ 0&\sqrt{2}&-5\\ \pi&12&3 \end{pmatrix}$ est une matrice carré de $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$

Deux matrices $A$ et $B$ sont égales si, et seulement si $a_{ij}=b_{ij}$ pour tout $i$ et $j$.

L'égalité de deux matrices ne peut intervenir que si elle sont de même taille.

Déterminer $x$ et $y$ réels, s'ils existent, tels que :

$\begin{pmatrix} x+y&3\\ 2&2x-y\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&3\\ 2&2\\ \end{pmatrix}$

Opération sur les matrices

Somme

Addition

Soient $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_{np}(\mathbb{R})$.

La matrice somme $C=A+B$ est la matrice de $\mathcal{M}_{np}(\mathbb{R})$ tel que $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

$\begin{pmatrix} 0&1&-5\\ 5&12&3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1&-2&5\\ 3&2&1 \end{pmatrix}=$

Multiplication par un scalaire

multiplication par un scalaire

Soit $A$ de $\mathcal{M}_{np}(\mathbb{R})$ et $\lambda$ un réel.

La matrice $B=\lambda \times A$ est la matrice de $\mathcal{M}_{np}(\mathbb{R})$ tel que $b_{ij}=\lambda\times a_{ij}$

$-2\times\begin{pmatrix} 5&-1 \\ 1&5\\ 3&2 \end{pmatrix}=$

soustraction de deux matrices

Soustraction

Soient $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_{np}(\mathbb{R})$.

La matrice différence $C=A-B$ est la matrice $A+(-1)B$

$\begin{pmatrix} -2&2 \\ 0&1\\ 5&3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5&-1 \\ 1&5\\ 3&2 \end{pmatrix}=$

Produit de deux matrices

Multipliation matricielle

Soient $A\in\mathcal{M}_{mn}(\mathbb{R})$ et $B\in\mathcal{M}_{np}(\mathbb{R})$.

La matrice produit $C=A\times B$ est la matrice de $\mathcal{M}_{mp}(\mathbb{R})$ $C=A\times B$ tel que $c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\times b_{kj}$

  1. $\begin{pmatrix} -2&1&2 \\ 0&1&-5\\ 5&12&3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 5&-1&3 \\ 1&-2&5\\ 3&2&1 \end{pmatrix}$
  2. $\begin{pmatrix} -2&1&2 \\ 5&12&3\\ \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -1&3 \\ 2&0\\ 3&2 \end{pmatrix}$

Cas particuliers des matrices carrées

Propriétés algébriques des matrices carrés

Soient $A$, $B$ , $C$ et $D$ quatre matrices de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$.

  1. $A(BC)=(AB)C=ABC$
  2. $A(B+C)=AB+AC$
  3. $(B+C)A=BA+CA$
  4. $(A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BD$

Soit $A=\begin{pmatrix} 1&2 \\ 3&4 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 2&0 \\ 3&1 \end{pmatrix}$

  1. Calculer $AB$
  2. $BA$
  3. Que dire?
La multiplication matricielle n'est pas commutative. C'est à dire que de manière générale $AB\ne BA$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}$

  1. Calculer $AB$
  2. Que dire?
La multiplication matricielle n'est pas intègre. C'est à dire que de manière générale $AB=0$ ne donne pas $A=0$ ou $B=0$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&4 \end{pmatrix}$ ; $B=\begin{pmatrix} 2&-6 \\ -1&3 \end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix} -2&10 \\ 1&-5 \end{pmatrix}$

  1. Calculer $AB$
  2. Calculer $AC$
  3. Que dire?

Matrice identité et inverse

Matrice identité

On appelle matrice identité la matrice $I_{n}\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ tel que $i_{ii}=1$ et $i_{ij}=0$ si $i\ne j$.

$I_n=\begin{pmatrix} 1&0&\ldots&0 \\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&1 \end{pmatrix}$

Pour tout $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$, $A\times I_n=I_n\times A=A$

Matrice inverse

Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$, s'il existe $B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ telle que $AB=BA=I_n$, alors on dit que $A$ est inversible et B est la matrice inverse de $A$ on la note $A^{-1}$.

On donne $A=\begin{pmatrix} 1&2&-1 \\ 1&0&2\\ -1&2&-1 \end{pmatrix}$ et $B=\frac18\begin{pmatrix} 4&0&-4\\ 1&2&3\\ -2&4&2\\ \end{pmatrix}$

Montrer que $B=A^{-1}$

$A=\begin{pmatrix} 0&1 \\ -1&0 \end{pmatrix}$ Calculer $A^2$, $A^3$ et $A^4$. En déduire $A^{-1}$.

Inverse des matrices carrés d'ordre 2

Soit $A=\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}$ .

On note $det(A)=ad-bc$ appelé déterminant de A.

Si $det(A)\ne 0$ alors $A$ est inversible et $A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d&-b \\ -c&a \end{pmatrix}$

On considère le système $(S): \left \{ \begin{array}{c c} x+2y & =1 \\ 3x-4y &=2 \\ \end{array} \right.$ On pose $A=\begin{pmatrix} 1&2\\ 3&-4 \end{pmatrix}$; $X=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}$

  1. Déterminer $A^{-1}$.
  2. Vérifier que $(S)$ peut s'écrire $AX=B$
  3. En déduire les solution du système.

Soit $(S):\left \{\begin{array}{c} 2x_1+4x_2-x_3=1 \\ 3x_1-2x_2+x_3=2 \\ x_1-3x_2+x_3=4 \\ \end{array} \right.$

  1. Écrire $(S)$ sous forme matricielle $AX=Y$.
  2. Déterminer $A^{-1}$ à l'aide de la calculatrice.
  3. En déduire les solutions de ce système.

Matrice diagonale

Matrice diagonale

On appelle matrice diagonale la matrice $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ tel que $a_{ij}=0$ si $i\ne j$.

On dit aussi que tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale principale}.

$A=\begin{pmatrix} a_{11}&0&\ldots&0 \\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&a_{nn} \end{pmatrix}$

Soit $A$ une matrice diagonale d'ordre $k$ alors $A^n=\begin{pmatrix} a_{11}^n&0&\ldots&0 \\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&a_{nn}^n \end{pmatrix}$

Exercices

Matrices et opérations

Écrire la matrice d'ordre 2 telle que : $a_{11}=3$, $a_{22}=4$, $a_{12}=-1$ et $a_{21}=6$.

On considère deux matrices $A$ et $B$.

Déterminer les valeurs de $x$ telles que les matrices $A$ et $B$ soient égales.

$A=\begin{pmatrix} 1&x\\ 1-x&3 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1&x^2\\ x^2+x+1&3-x \end{pmatrix}$

On considère les matrices : $A=\begin{pmatrix} 2&3&-5\\ 4&0&1\\ -1&1&3 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} -2&2&1\\ 0&1&3\\ 2&-1&4 \end{pmatrix}$

Calculer $2A$, $-3B$, $A+B$, $3A-B$ et $-2A+4B$.

Soient les matrices $A=\begin{pmatrix} 2&-1 \\ 3&0\\ \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 5&4\\ 1&8\\ \end{pmatrix}$

Calculer $(A+B)^2$ et $A^2+2AB+B^2$

On considère les matrices suivantes :

$A=\begin{pmatrix} 1&-1&1 \\ -3&2&-1\\ -2&1&0 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 2&4&6\\ 1&2&3 \end{pmatrix}$

Calculer $AB$, $BA$ et $A^2$

Calculer :

  1. $\begin{pmatrix} 2&3&-1\\ 4&0&2\\ -3&2&0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0&1&2\\ -2&2&3\\ 4&-2&1 \end{pmatrix}$
  2. $\begin{pmatrix} 5&-2&1&0\\ -1&3&2&1\\ 4&1&3&2\\ 0&-1&-1&1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2&0&3&1\\ 4&2&-1&-2\\ 2&1&0&3\\ -2&-1&2&1 \end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix} 4&2\\ 2&1 \end{pmatrix}$

Montrer $A^2=5A$. Calculer rapidement $A^3$ et $A^4$.

inverse de matrice

On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 0&0&1 \\ 0&1&0\\ 1&0&0 \end{pmatrix}$

Calculer $A^2$. En déduire que la matrice $A$ est inversible.

On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} -3&1&1 \\ 1&-3&1\\ 1&1&-3 \end{pmatrix}$

  1. Calculer $A^2+5A$
  2. En déduire que la matrice $A$ est inversible. Préciser son inverse $A^{-1}$

Soient les matrices $A=\begin{pmatrix} 5&-4 \\ 4&-3 \end{pmatrix}$ et $J=\begin{pmatrix} 1&-1 \\ 1&-1 \end{pmatrix}$

  1. Calculer $J^2$
  2. Démontrer que $A=I_2+4J$
  3. Démontrer que pour tout entier $n\geq 0$: $$A^n=I_2+4nJ.$$

On considère les matrices $A=\begin{pmatrix} 6&-1 \\ 2&3 \end{pmatrix}$ et $P=\begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}$

  1. Calculer $B=P^{-1}AP$.
  2. Exprimer $A^n$ en fonction de l'entier naturel $n$.